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巴斯卡三角形的应用Ⅱ(The application of


连结:巴斯卡三角形Ⅰ

摘要:本文介绍巴斯卡三角形的应用,首先是二项式定理,接着是质数性质,第三个应用是巴斯卡三角形与费氏数列的关係,第四个应用为曲棍球球棍模型,第五个应用为三角数关係,第六个应用为完全平方数关係,第七个应用为巴斯卡三角形与谢尔宾斯基三角形的关係,第八个应用为倒数巴斯卡三角形。

巴斯卡三角形的第一个应用为二项式定理,其一般展开式为

\((a+b)^n=\sum\limits^n_{k=0}C^n_ka^kb^{n-k}=C^n_0a^nb^0+C^n_1a^{n-1}b^1+\cdots+C^n_na^0b^n\)

,根据此定理,学生不需要

\(\begin{array}{ll}(a+b)^4&=(a+b)^2(a+b)^2=(a^2+2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)\\&=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\end{array}\)

如此繁琐的方式,亦即必需有较低次展开式结果,才能算出高次展开式,也就是递迴关係式的想法,利用巴斯卡三角形结果,辅以组合数观念,任何高次二项展开式均能迎刃而解,如下图一所示:巴斯卡三角形的应用Ⅱ(The application of

图一:二项展开式。

第二个应用是质数性质,如果某一列(横)的第二个元素为质数(Prime number)时,那幺它将能整除所有的数,除了首末两项 \(1\) 除外,例如:在第八列的 \(1~7~21~35~35~21~7~1\),因为第二个元素 \(7\) 为质数时,观察其他元素 \(21\) 与 \(35\) 都是 \(7\) 的倍数;另一个直观性质为任何一列的元素均是左右对称的。

第三个应用是巴斯卡三角形与费氏数列的关係,如下图二所示:

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图二:巴斯卡三角形与费氏数列的关係。

第四个应用为曲棍球球棍模型(Hockey Stick Pattern),从巴斯卡三角形任何一列的左侧或右侧出发,形如曲棍球球棍的数字关係,如下图三所示:

\(1+7+28+84+210+462+924=1716\),
\(1+6+21+56=84\),
\(1+12=13\)。

巴斯卡三角形的应用Ⅱ(The application of

图三:巴斯卡三角形的曲棍球球棍模型(Hockey Stick Pattern)。

第五个应用为三角数(Triangular numbers)关係,如下图四所示:

\(\frac{1\times 2}{2}=1,\frac{2\times 3}{2}=3,\frac{3\times 4}{2}=6,\frac{4\times 5}{2}=10,\\\frac{5\times 6}{2}=15,\frac{6\times 7}{2}=21,\frac{7\times 8}{2}=28,\frac{8\times 9}{2}=36,\cdots\)

巴斯卡三角形的应用Ⅱ(The application of

图四:巴斯卡三角形的三角数关係。

第六个应用为完全平方数(Square numbers)关係,如下图五所示:

\(0+1=1^2, 1+3=2^2, 3+6=3^2, 6+10=4^2,\\10+15=5^2, 15+21=6^2, 21+28=7^2,\cdots\)

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图五:巴斯卡三角形的平方数关係。

第七个应用为巴斯卡三角形与谢尔宾斯基三角形(Sierpinski’s triangle)的关係,如图六是 \(\mathrm{mod}~2\) 的关係、图七为 \(\mathrm{mod}~5\) 的关係。

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图六:巴斯卡三角形与谢尔宾斯基三角形mod 2 的关係。

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图七:巴斯卡三角形与谢尔宾斯基三角形mod 5 的关係。

第八个应用为倒数巴斯卡三角形,莱布尼兹曾利用倒数的想法与巴斯卡三角形的想法,算出倒数巴斯卡三角形,如图八倒数巴斯卡三角形的关係。

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图八:倒数巴斯卡三角形的关係。

参考文献

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